Nul besoin de savoir résoudre les équations de Maxwell, mais un minimum de théorie me semble utile afin d'éviter les grossières erreurs et les déceptions. Vous trouverez ici une synthèse des régles physiques qui sous-tendent le fonctionnement des antennes cadre utilisées pour la réception VLF.

Cette page présente successivement la théorie des antennes cadre, à air ou ferrite, l'étude des divers élements constitutifs du schéma équivalent électrique et propose une modélisation sous SPICE.
La section Références propose à ceux souhaitant approfondir ces notions une liste de sources d'informations.

Pour ceux qui sont totalement allergiques aux équations, une synthèse à la fin de chaque chapitre résume les concepts abordés et les principales conclusions.

Un peu de théorie

Principe de fonctionnement d'une antenne cadre

Le rôle de toute antenne de réception est de convertir une onde électromagnétique en tension. Une antenne cadre magnétique est un enroulement de fil de cuivre autour d'un cadre (cadre à air) ou autour de ferrites (cadre ferrite).

En réalité, une antenne cadre est sensible au champ magnétique et non au champ électrique (d'où son nom de cadre magnétique). La loi de Faraday exprime que pour un cadre constitué d'un conducteur électrique et soumis à un flux magnétique variable Φ(t) une force électromotrice e(t) apparaîtra a ses bornes (circuit ouvert) )selon la relation :

où :

• e(t) est la force électromotrice, en V
• Φ est le flux magnétique traversant le circuit, en webers (Wb ≡ V·s)

Cette équation est valide pour des antennes électriquement courtes par rapport à la longueur d'onde de l'onde électromagnétique en question, ce qui est le cas pour les fréquences qui nous intéressent.

On définit alors :

•  est le vecteur du champ d'induction magnétique, u vecteur unitaire
•  est le vecteur normal à la surface du cadre, n vecteur unitaire
• où θ est l'angle orienté entre les lignes du champ et la normale au cadre.

Le flux magnétique représente la quantité de lignes de force du champ d'induction magnétique passant à travers le cadre :

Pour un champ magnétique sinusoïdal, uniforme sur la surface S, l'amplitude B(t) projetée selon n est :

où :

• B₀ est l'intensité du champ d'induction magnétique, en tesla (T ≡ Wb/m² ≡ V·s/ m²)
• ω est pulsation du champ d'induction magnétique, en rad·s^-1

L'équation (2) devient alors :

Pour un cadre de N spires, chacune de surface A, on a , d'où :

et (1) devient :

Sachant que , la valeur efficace de la tension induite à la sortie de l'antenne s'exprime en fonction champ d'induction magnétique  :

Expression de la tension induite en fonction du champ électrique

L'efficacité d'une antenne est mesurée au travers de la notion de hauteur effective h_e selon la relation:

où :

• V_rms est la valeur efficace de la tension induite à la sortie de l'antenne, en V
• h_e est la hauteur effective, en m
• E_rms est la valeur efficace du champ électrique au niveau de l'antenne, exprimée en V/m

Sachant que et que le champ électrique est en relation avec le champ magnétique d'induction selon la formule , la hauteur effective d'une antenne cadre est :

où :

• h_e est la hauteur effective, en m
• N est le nombre de tours du bobinage
• A est la surface de chaque enroulement, en m²
• λ est la longueur d'onde, en m
• θ est l'angle entre les lignes du champ et la normale au cadre

Avec une cadre ferrite, le champ électromagnétique d'induction dans l'antenne est multiplié par la perméabilité magnétique relative du matériau. L'équation (9) devient alors :

où :

• µ_r est la perméabilité magnétique relative, sans dimension. µ_r dépend du matériau.

Un petit calcul montrera que, compte tenu des longueurs d'ondes considérées (15km à une fréquence de 20kHz), la hauteur effective d'une antenne cadre sera forcément ridicule devant la longueur d'onde... Mais tout n'est pas perdu, et il est néanmoins possible d'obtenir de bons résultats avec des moyens raisonnables.

Expression de la tension induite en fonction du champ magnétique

Le champ d'induction magnétique traversant le cadre est fonction de la composante magnétique de l'onde électromagnétique (appelé H ou champ d'excitation magnétique) et de la perméabilité magnétique du milieu.
Le champ d'induction magnétique B est en relation avec le champ d'excitation magnétique H selon :

où :

• B est la valeur efficace du champ d'induction magnétique, en tesla (T ≡ V·s/m²)
• µ₀ est la perméabilité magnétique du vide, constante universelle valant 4π10^-7 H/m.
• µ_r est la perméabilité magnétique relative, sans dimension. µ_r dépend du matériau.
• H est la valeur efficace du champ d'excitation magnétique, en A/m

Pour un cadre à air, on a µ_r = 1.
Pour un cadre ferrite, les lignes de champs sont concentrées par les propriétés ferromagnétiques du milieu, et µ_r peut atteindre des valeurs de quelques centaines à quelques milliers.

L'antenne fournira donc une tension efficace V_rms pour une valeur efficace du champ d'excitation magnétique H_rms selon la relation :

Schéma équivalent électrique

Le schéma électrique équivalent d'une antenne cadre est constitué:

• d'un générateur de tension idéal V dont la tension est dépendante du champ d'excitation électrique selon l'équation (13)
• de la résistance de rayonnement R_rad
• de l'inductance du cadre L_loop
• de l'inductance du fil L_wire
• de la résistance du fil R_dc
• de la résistance due à l'effet de peau et à l'effet de proximité R_ac
• de la capacité distribuée C_loop

Paramètres du modèle

Les éléments résistifs, inductifs et capacitifs sont des éléments "perturbateurs" qui influencent chacun l'efficacité de l'antenne. Nous allons maintenant analyser leur contributions respectives.

Les équations présentées ci-dessous sont, sauf mention contraire, applicables aux cadres à air et aux antennes ferrite. Pour les cadres à air, on a µ_r=1. Pour une antenne ferrite, µ_r dépend du type de ferrite, de ses dimensions et de la longueur du bobinage.

Résistance de rayonnement R_rad

La résistance de rayonnement traduit les "pertes" dans l'antenne lors de la transformation de l'énergie électromagnétique en énergie électrique. A la différence d'une résistance ohmique qui transforme l'énergie électrique en chaleur, cette résistance est virtuelle, et à ce titre, elle n'est pas souce de bruit thermique selon la formule de Johnson-Nyquist. Sa valeur est : où :

• R_rad est la résistance de rayonnement, en Ω.
• Z₀ est impédance caractéristique du vide, en Ω.
• µ_r est la perméabilité magnétique relative, sans dimension. µ_r dépend du matériau.
• N est le nombre de tours du bobinage
• A est la surface de chaque enroulement, en m².
• λ est la longueur d'onde, en m.

Sachant que l'équation (14) devient :

Inductance du cadre L_loop

Antenne cadre à air

L'enroulement du fil autour d'un cadre a une inductance qui peut être calculée pour un cadre carré selon la formule : où :

• L_loop est la l'inductance du bobinage, en H
• N est le nombre de tours du bobinage
• w est la largeur du cadre, en m
• l est la longueur du cadre, en m

Antenne Ferrite

L'enroulement du fil autour de la ferrite a une inductance qui peut être calculée par :
where:

• L_loop est la l'inductance du bobinage, en H
• µ₀ est la perméabilité magnétique du vide, constante universelle valant 4π10^-7 H/m.
• µ_r est la perméabilité magnétique relative, sans dimension. µ_r dépend du matériau.
• N est le nombre de tours du bobinage
• A est la surface de chaque enroulement, en m²
• l est la longueur du cadre, en m

Inductance du fil L_wire

Le fil utilisé pour le bobinage présente lui-même une inductance. Un fil de longueur 4Nw présente une inductance L_wire selon : où :

• L_wire est la l'inductance du fil, en H.
• N est le nombre de tours du bobinage.
• w est la largeur du cadre, en m. La longueur totale du fil est 4Nw.
• d est le diamètre du fil, en m.

Résistance du fil R_dc

Le fil électrique présente une résistance dépendant de sa longueur et de son diamètre. La résistance d'un fil de longueur 4Nw et de diamètre d est calculée selon l'équation : où :

• R_dc est la résistance du fil, en Ω.
• N est le nombre de tours du bobinage.
• w est la largeur du cadre, en m. La longueur totale du fil est 4Nw.
• d est le diamètre du fil, en m. La section du fil est πd²/4.
• ρ est la résistivité du cuivre, en Ω·m. ρ=16.78nΩ·m.

Cette résistance est une source de bruit blanc thermique selon la formule de Johnson-Nyquist qui exprime la densité spectrale en tension du bruit selon : , en V/Hz^½.
k est la constante de Boltzmann (1.38·10^-23 J/K), T est la température absolue en kelvins, et R est la valeur de la résistance en ohms.

Résistance due à l'effet de peau et à l'effet de proximité R_ac

A la résistance en courant continu identifiée ci-dessous se rajoute une résistance en haute fréquence du fait que le courant électrique n'a plus une répartition homogène. Notamment, l'effet de peau traduit le fait que le courant a tendance à se déplacer uniquement sur les bords du conducteur. L'effet de proximité est la perturbation de la répartition de courant par la présence de conducteurs proches.
Bien que son effet puisse être supérieur à celui de l'effet de peau, l'effet de proximité est extrêmement délicat à modéliser car entièrement dépendant de la géométrie de l'enroulement. Il sera donc ignoré ici.
La résistance due à l'effet de peau est par contre modélisée par l'équation : où :

• R_ac est la résistance due à l'effet de peau, en Ω.
• N est le nombre de tours du bobinage.
• w est la largeur du cadre, en m. La longueur totale du fil est 4Nw.
• d est le diamètre du fil, en m. Le périmètre du fil est πd.
• µ₀ est la perméabilité magnétique du vide, constante universelle valant 4π10^-7 H/m.
• f est la fréquence, en Hz.
• ρ est la résistivité du cuivre, en Ω·m. ρ=16.78nΩ·m.

Capacité distribuée C_loop

La capacité distribuée est répartie tout au long du bobinage. Sa valeur approximative pour un cadre carré est donnée par : où :

• C_loop est la capacité distribuée d'un cadre carré, en F
• w est la largeur du cadre, en m
• l est la longueur du cadre, en m

Cette formule est aussi applicable aux antennes ferrite en remplaçant w par le diamètre des enroulements.

Exemple pratique

Afin de mieux cerner les contributions respectives des divers paramètres du schéma équivalent, voici les valeurs calculées dans un cas concret classique. Considérons un cadre carré de w=60 cm de côté, avec N=50 tours de fil de cuivre émaillé #26 (diamètre d=0.405mm) bobinés sur une longueur l=1cm.

Les paramètres du modèle sont alors :

• R_rad=12.5pΩ à 10kHz, 0.125µΩ à 100kHz et 1.25mΩ à 1MHz...
  Compte-tenu des fréquences qui nous intéressent, ce paramètre peut être négligé.
• L_loop=5.77mH
• L_wire=318µH
• R_dc=15.6Ω
• R_ac=2.43Ω à 10kHz, 7.67Ω à 100kHz et 24.3Ω à 1MHz.
  On peut constater que l'effet de peau est non négligeable par rapport à R_dc. D'autre part, ce calcul ne prend pas en compte l'effet de proximité, qui est probablement beaucoup plus important que l'effet de peau, compte tenu du bobinage serré de notre antenne.
• C_loop=129pF

Modélisation SPICE d'une antenne cadre

Description du modèle SPICE

La copie d'écran ci-dessous décrit le modèle SPICE de l'antenne cadre.

Le générateur de tension idéal B_loop implémente la formule (13). Une transformée de Laplace est utilisée pour traduire la dépendance à la fréquence. V_field est un générateur de tension simulant un champ électromagnétique de 1mV/m.
Le reste du schéma implémente les divers élements du schéma équivalent électrique de l'antenne et les diverses équations permettant de déterminer leurs valeurs.
Enfin, l'antenne est reliée à une charge purement résistive R_load. Les simulations sont faites avec des charges de 1mΩ (circuit fermé), 50Ω (impédance classique d'un récepteur), 10kΩ (impédance d'une carte son) et 100MΩ (circuit ouvert).

Utilisation de l'antenne en tension

La simulation fournit les résultats suivants pour la tension aux bornes de l'antenne :

Si l'on s'intéresse à la courbe en circuit ouvert, on constate une réponse linéaire avec une pente de 20dB/décade correspondant à l'évolution selon la fréquence de B_loop. A partir d'environ 100kHz, le circuit devient résonnant. La fréquence de résonance obéit à l'équation (a) ci-dessous :

Ici, L=L_loop+L_wire=6.09mH, et C=C_loop=129pF, ce qui donne f₀=180kHz.
Au-delà, l'impédance de la capacité distribuée C_loop devient suffisamment faible pour limiter la tension de sortie.

En rajoutant une charge résistive, la résonance est atténuée et la courbe de réponse s'aplanit au détriment du niveau de sortie. D'autre part, deux pôles sont créés :

• un filtre passe-haut créé par (L_loop+L_wire) et (R_load+R_dc+R_ac).
• un filtre passe-bas entre C_loop et R_load.

Avec R_load=50Ω, en utilisant les équations (21 b) et (21 c), on obtient un passe haut avec une fréquence de coupure à environ 1.8kHz et un passe-bas avec une fréquence de coupure à environ 25MHz.

Accord de l'antenne

L'ajout d'une capacité C_tune aux bornes de l'antenne permet de l'accorder sur une fréquence particulière. En utilisant l'équation (19 a) nous pouvons calculer la capacité à utiliser.
Supposons que nous souhaitions accorder notre antenne sur NAA, 24kHz. Connaissant l'inductance (L_loop+L_wire=6.09mH), nous obtenons C_tune+C_loop=7.22nF, soit C_tune=7.09nF.

La réponse en fréquence de l'antenne est alors :

L'équation (20) permet de calculer le facteur de qualité de l'antenne :

Dans notre cas particulier, nous avons R_ac=3.76Ω à 24kHz, ce qui donne Q=47.4.

Nous pouvons mesurer ce facteur de qualité en mesurant la bande passante Δf à -3dB et grâce à la formule :

La bande passante mesurée est d'environ 509Hz, ce qui donne un Q mesuré de 47.2, en accord avec le calcul théorique.

Une station à proximité (par exemple DHO38 sur 23.4kHz) sera atténuée (d'environ 8dB dans ce cas).
En pratique, le facteur de qualité de l'antenne réelle sera plus faible du fait de l'effet de proximité qui n'est pas pris en compte dans cette simulation.

Utilisation de l'antenne en courant

La simulation fournit les résultats suivants pour le courant dans la charge de l'antenne :

Si l'on reboucle l'antenne sur un circuit fermé, la réponse en fréquence est plate. La perturbation due à la capacité distribuée est supprimée car celle-ci est court-circuitée.
A basses fréquences, l'antenne est vue comme une résistance. A hautes fréquences, cette résistance devient négligeable devant l'impédance due à l'inductance du cadre. Cette impédance (jLω) est proportionnelle à la fréquence. Le générateur de tension étant lui-aussi proportionnel à la fréquence—cf. équation (13)—, le courant devient constant en fonction de la fréquence.
La transition entre le domaine résistif (basses fréquences) et le domaine inductif (hautes fréquences), se fait selon l'équation (19 b). La valeur obtenue pour cette fréquence de coupure est légèrement supérieure à 400Hz dans notre cas.
Un amplificateur opérationnel monté en convertisseur courant-tension permettra d'offrir une charge presque nulle à l'antenne. Pour ce cas particulier, l'utilisation d'une transrésistance de 100kΩ permettra d'avoir une réponse linéaire de 1V/V·m^-1 sur l'ensemble de la bande VLF et au-delà.

L'utilisation d'une charge non nulle réduit la plage de linéarité de l'antenne, jusqu'à retrouver le comportement résonnant étudié plus haut dans le cas du fonctionnement en tension de l'antenne.

Références

Vous trouverez de précieuses informations dans les ouvrages de référence suivants (malheureusement en anglais) :

• The ARRL Antenna Book
• The ARRL Handbook for Radio Communications
• Le site www.vlf.it est une excellente source d'explications et de cas pratiques de constructions d'antennes.
• The Art of Electronics. Horowitz and Hill. La référence de l'électronique!